वर्ग:
एखाद्या संख्येस त्याच संख्येने गुणल्यास
येणारा गुणाकार म्हणजे त्या संख्येचा वर्ग होय.
उदा. 32 = 3 x 3 = 9 म्हणजे 3 चा वर्ग 9
1) पूर्णवर्ग संख्येच्या एकक स्थानी 2, 3, 7
किंवा 8 हे अंक नसतात.
2) पूर्णवर्ग संख्येच्या एकक स्थानी नेहमी 0, 1, 4, 5, 6 व 9
हेच अंक असतात.
वर्गमुळ: वर्ग संख्या ज्या संख्येचा वर्ग असतो त्याला वर्गमुळे
असे म्हणतात.
उदा.
· ‘\[\sqrt{}\] याला वर्गमुळाचे चिन्ह म्हणतात.
· घातांक \[\frac{1}{2}\] असेल तर त्याला वर्गमुळच म्हणतात व दिलेल्या संख्येच्या पायाचा वर्गमुळ काढतात.
उदा. \[16^{\frac{1}{2}}\]
·
वर्गमुळात 16 असे वाचतात
वर्ग काढण्याची पद्धती:-
एकक स्थानी
5 असल्यास
एकक स्थानी 5 असल्यास 5 चा वर्ग 25 घ्यावे व
उर्वरित संख्येला त्याच्या समोरील संख्येशी गुणून गुणाकार करावे.
जसे,
1) 352 = यात 5 चा वर्ग 25 व 3 ला समोरील संख्येने म्हणजे 4 ने गुणावे 3 x 4 = 12 \[\therefore 1225\]
3) 1052 यात 5 चा वर्ग 25 व 10 x 11 = 110 \[\therefore 11025\]
4) 1352 यात 5 चा वर्ग 25 व 22 x 23 = 506 \[\therefore 50625\]
5) 2252
यात 5 चा वर्ग 25 व
13 x 14 = 182 \ 18225
एकक स्थानी 5 नसल्यास वर्ग काढणे
एकक स्थानी 5 नसल्यास वर्ग काढतांना प्रथम
पहिल्या संख्येचे वर्ग करणे नंतर दोन्ही संख्यांचा गुणाकार करून दुप्पट करणे
व शेवटी उरलेल्या संख्येचा वर्ग करणे व
हातचे मिळवत जाणे.
जसे,
1) 372 = 1369
यात
1) 7 चा वर्ग 49 चे 9 हातचे 4
2) 3 x 7 x 2 = 42 + हातचे 4 = 46 चे 6 हातचे 4
3) 3 चा वर्ग 9 + हातचे 4 = 13
2) 642
= 4096 यात
1) 4 चा वर्ग 16 चे 6 हातचा 1
2) 6 x 4 x 2 = 48 +
हातचा 1 = 49 चे 9 हातचे 4
3) 6 चा वर्ग 36 + हातचे 4 = 40
3) 1342
= 17956
1) 4 चा वर्ग 16 चे 6 हातचे 1
2) 13 x 4 x 2 = 104 + हातचे 1 = 105 चे 5 हातचे 10
3) 13 चा वर्ग 169 + हातचे 10 = 179
4) 1262
= 15876
1) 6 चा वर्ग 36 चे 6 हातचे 3
2) 12 x 6 x 2 = 144 + हातचे 3 = 147 चे 7 हातचे 14
3) 12 चा वर्ग 144 + हातचे 14 = 158
एकक स्थानी 0 असल्यास वर्ग काढणे
एकक स्थानी 0 असल्यास
शेवटी दुप्पट शुन्य द्यावे व उर्वरीत संख्येचे वर्ग काढावे.
उदा.
1)
402 = यात 4 चा वर्ग 16 व शेवटी एक शुन्य आहे म्हणून दोन शुन्य
द्यावे. = 402 = 1600
2)
1402 = 14 चा वर्ग 196 व शेवटी दोन शुन्य 19600
3)
16002 = 16 चा वर्ग 256 व शेवटी 4 शुन्य 2560000
एकक स्थानी 5 असल्यास वर्गमुळ काढणे
एकक स्थानी 5 असल्यास
शेवटी 5 घ्यावे व दुसरी संख्या सोडून उर्वरीत संख्येच्या खालील वर्गसंख्या
घेऊन वर्गमुळ काढावे.
उदा. \[1)\: \: \sqrt{3025}=55\]
एकक 5 आहे म्हणून 5 व 2 सोडून उर्वरीत 30
पेक्षा लहान वर्गसंख्या 25 वे वर्गमुळ 5
\[2)\: \: \sqrt{9025}=95\]
एकक 5 आहे म्हणून 5 व 2 सोडून उर्वरीत 90
पेक्षा लहान वर्गसंख्या 81 चे वर्गमुळ 9
*
वर्गमुळात एकक 5 असल्यास दशक नेहमी 2 असते.
*
वर्गमुळात एकक 0 असेल तर दशक नेहमी 0 असते.
\[3)\: \: \sqrt{13225}=115\]
एकक स्थानी 5 आहे म्हणून 5 व 2 सोडून
उर्वरीत 132 पेक्षा लहान वर्गसंख्या 121 चे वर्गमुळ 11
एकक स्थानी 0 असल्यास वर्गमुळ काढणे
एकक
स्थानी 0 असल्यास 0 घ्यावे व दुसरीसंख्या सोडून उर्वरित संख्यांचे वर्गमुळ घ्यावे.
जसे \[1)\: \: \sqrt{2500}=50\]
एकक 0 आहे म्हणून 0 घ्यावे व दुसरी संख्या
0 सोडून उर्वरित 25 चे वर्गमुळ 5 घ्यावे.
\[2)\: \: \sqrt{16900}=130\]
एकक 0 आहे म्हणून 0 घ्यावे व दुसरी संख्या
0 सोडून उर्वरीत संख्या 169 चे वर्गमुळ 13 घ्यावे.
एक स्थानी 0 किंवा 5 नसल्यास वर्गमुळ काढणे
एकक
स्थानी 1 असल्यास 1 व 9 घ्यावे 4 असल्यास 2 व 8 घ्यावे,
9 असल्यास 3 व 7 घ्यावे व 6 असल्यास 4 व 6 घ्यावे व दुसरी संख्या सोडून
उर्वरीत संख्येच्या खालील वर्गसंख्या घेऊन वर्गमुळ काढणे व दिलेली संख्या वरील
वर्गसंख्येच्या जवळ किंवा खालील वर्गसंख्येच्या जवळ आहे ते पाहून लहान किंवा
मोठी संख्या ठरविले.
5 = 5
0 = 0
उदा.
यात एकक 6 आहे म्हणून 4 व 6
घेणे नंतर 3 सोडून 31 पेक्षा लहान वर्गसंख्या 25 चे वर्गमुळ 5 दोन्ही संख्ये
समोर ठेवणे व आता 31 पेक्षा लहान वर्गसंख्या 25 व मोठी वर्गसंख्या 36 घ्यावे व
31 कोणत्या संख्येच्या जवळ आहे ते ठरवावे. 25 च्या जवळ असल्यास 54 (लहान संख्या)
व 36 च्या जवळ असल्यास 56 (मोठी संख्या) घ्यावे.
एकक
9 आहे म्हणून 3 किंवा 7 घेणे नंतर
106 पेक्षा लहान वर्गसंख्या 100 चे वर्गमुळ
10. 106 ही संख्या 100 च्या जवळ आहे म्हणून 103
घन
काढणे
कोणत्याही संख्येचा तिन वेळाकेलेला गुणाकार म्हणजे
घन होय. a3
= 7 x 7 x 7
उदा.
73 = 7 x 7 x 7 = 343
153
= 15 x 15 x 15 = 3375
222
= 22 x 22 x 22 = 10648
93
= 9 x 9 x 9 = 729
घनमुळ काढणे
घनमुळ काढतांना एकक स्थानी 2 असेल तर 8 व 8 असेल तर 2
घ्यावे तसेच 3 असेल तर 7 व 7 असेल तर 3 घ्यावे. उर्वरीत तेच अंक घ्यावे नंतर 2
अंक सोडून उर्वरीत संख्येपेक्षा खालील घनसंख्या घेऊन घनमुळ काढणे.
उदा.
\[1)\: \: \sqrt[3]{15625}=25\]
यात एकक 5 आहे म्हणून 5 घ्यावे व नंतर 62
सोडून उर्वरीत 15 पेक्षा लहान घनसंख्या 8 चे घनमुळ 2 घ्यावे.
\[2)\: \: \sqrt[3]{592704}=84\]
यात एकक 4 आहे म्हणून 4 घेणे व नंतर 70
सोडून उर्वरीत 592 पेक्षा लहान घनसंख्या 512 चे घनमुळ 8 घेणे.
3) \[3)\: \: \sqrt[3]{185193}=57\]
यात एकक 3 आहे म्हणून 7 घेणे व 19 सोडून
उर्वरीत संख्या 185 पेक्षा लहान घनसंख्या 125 चे घनमुळ 5 ठेवणे.
Short Trick
वर्ग काढणे.
1) 472
= ? Step
1) 72 = 49 चे 9 हातचे 4
2209 Step 2) 2 x 4 x 7 = 56 हातचे 4 = 60 चे 0 हातचे 6
Step
3) 42 = 16 + हातचे 6 = 22
2) 652
= ? Step
1) 52 = 25
4225 Step 2) 6 x 7 = 42
3) 1252
= ? Step
1) 52 = 25
15625 Step 2) 12 x 13 = 156