परिमेय
संख्या:-
ज्या संख्येचे उत्तर आपण अंकगणितीय पद्धतीने
काढू शकतो त्यास परिमेय संख्या म्हणतात. यांची किंमत निश्चीत असते.
जसे:\[\sqrt{16},\sqrt{625},\sqrt{\frac{32}{2}},\sqrt{\frac{250}{10}} \: \: etc.\]
अपरिमेय
संख्या:-
ज्या संख्याचे उत्तर आपण अंकगणितीय पद्धतीने काढू
शकत नाही मात्र त्यांचे उत्तर गणकयंत्र (calculator) किंवा log table ने काढू शकतो किंवा ज्यांचे
उत्तर आपण निश्चीत सांगू शकत नाही त्यांना अपरिमेय संख्या म्हणतात.
\[\sqrt{2},\sqrt{3},3\sqrt{5},3\sqrt{19},4\sqrt{9},4\sqrt{\frac{28}{4}},\: \: etc.\]
अशाच अपरिमेय संख्यांना
करणी असे म्हणतात. उदा. ज्या संख्याचे उत्तर निश्चीत सांगू शकत नाही (वर्गमुळ, घनमुळ, 4 थे मुळ) त्या संख्यांना करणी असे म्हणतात.
\[x\sqrt{a}\] ही संख्या करणी माणल्यास यामध्ये a
ला करणीरथ संख्या म्हणतात.
\[x\sqrt{a}=a^{\frac{1}{x}}\] येथे
a ही करणीय संख्या होय. x
ही करणीची कोटी होय.
उदा.
1)
\[1) \sqrt{10}=10^{\frac{1}{2}}\] यात
10 ही करणीस्थ संख्या आहे व 2 ही करणीची
कोटी आहे.
2)
\[2)\: \: \sqrt[3]{17}=17^{\frac{1}{3}}\] यात
17 ही करणीस्थ संख्या आहे व 3 ही करणीची
कोट आहे.
3) \[3)\: \: \sqrt[3]{\sqrt{5}}\] घनमुळ
म्हणजे \[\frac{1}{3}\] घात होय व वर्गमुळ म्हणजे \[\frac{1}{2}\] घात.
4)
\[\left [ \left [ 3^{\frac{1}{4}} \right ]^{\frac{1}{5}} \right ]^{\frac{1}{6}}\]
यात
घातांचा गुणाकार म्हणून कोटी 120 \[3^{\frac{1}{4}\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{6}}=3^{\frac{1}{120}}\]
5) \[\sqrt[5]{3\sqrt{8}}\: =\: \left [ \left [ 8^{\frac{1}{2}} \right ]^{\frac{1}{3}} \right ]^{\frac{1}{4}}=8^{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}=8^{\frac{1}{24}}\] करणीची कोटी 24
करणीचे
प्रकार
1) शुद्ध करणी:- फक्त करणीतील संख्या असल्यास त्यास शुद्ध करणी म्हणतात.\[\sqrt{5},\sqrt[4]{8},\sqrt[3]{9}\]
2) मिश्र करणी:- बाहेर
पूर्णांकसंख्या संख्या व करणी असल्यास त्यास मिश्र करणी म्हणतात.
उदा.\[2\sqrt{3},5\sqrt[]{8},4\sqrt[3]{3}, -8\sqrt[4]{6}\]
3) सजातीय करणी:-
करणी समान असेल तर त्या संख्यांना सजातीय करणी म्हणतात.
उदा. \[18\sqrt{2},5\sqrt{2},3\sqrt{2},6\sqrt{2}\]
4) विजातीय करणी:-
करणी समान नसेल तर त्या संख्यांना विजातीय करणी म्हणतात.
उदा.\[6\sqrt{2},\: \: 8\sqrt{5},\: \: 4\sqrt{6},\: \: \: 5\sqrt{7}\]
सजातीय करणींची बेरीज वजाबाकी करता येते.
उदा.
\[1)\: \: 3\sqrt{2}+6\sqrt{2}+8\sqrt{2}=\: \: 17\sqrt{2}\]
\[2)\: \: 4\sqrt{3}+9\sqrt{3}+5\sqrt{3}=\: \: 18\sqrt{3}\]
\[3)\: \: 3\sqrt[3]{7}+13\sqrt[3]{7}+2\sqrt[3]{7}=\: \: 18\sqrt[3]{7}\]
\[4)\: \: 15\sqrt{5}+5\sqrt{5}-8\sqrt{5}=\: \: 12\sqrt{5}\]
\[5)\: \: 12\sqrt{7}-2\sqrt{7}-4\sqrt{7}=\: \: 6\sqrt{7}\]
करणीचे नियम
\[1)\: \: \sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b} =\sqrt[n]{a\times b}\]
उदा. \[1)\: \: \sqrt[]{3}\times\sqrt[]{4} =\sqrt[]{3\times 4}=\sqrt{12}\]
\[2)\: \: \sqrt[3]{9}\times\sqrt[3]{15} =\sqrt[3]{9\times 15}=\sqrt[3]{135}\]
\[3)\: \: \sqrt[4]{4}\times\sqrt[4]{5} \times\sqrt[4]{6}=\sqrt[4]{4\times 5\times 6}=\sqrt[4]{120}\]
\[2)\: \: \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]उदा.
\[1)\: \: \frac{\sqrt[]{12}}{\sqrt[]{6}}=\sqrt[]{\frac{12}{6}}=\sqrt{2}\]
\[2)\: \: \frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[3]{\frac{25}{5}}=\sqrt[3]{5}\]
\[3)\: \: \frac{\sqrt[]{15}}{\sqrt[]{5}}=\sqrt[]{\frac{15}{5}}=\sqrt{3}\]
\[3)\: \: \sqrt[a]{b\sqrt[c]{\sqrt[d]{x}}}=x^{\frac{1}{a}\times \frac{1}{b}\times\frac{1}{c}\times\frac{1}{d}}\]उदा.
\[1)\: \: \sqrt[]{\sqrt[3]{\sqrt[4]{25}}}=25^{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times\frac{1}{4}}=25^{\frac{1}{24}}\]
\[2)\: \: \sqrt[3]{\sqrt[4]{\sqrt[6]{5}}}=5^{\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\times\frac{1}{6}}=5^{\frac{1}{72}}\]