गुणोत्‍तरीय बैजीक राशी

चल:- संख्‍येऐवजी अक्षर वापरल्‍यास त्‍यास चल असे म्‍हणतात.

उदा. 1) x + 8 = 10 यात x चल आहे.

   2) 4x – 8 = 20 यात x चल आहे.

सहगुणक:- अक्षरासोबत येणार्‍या संख्‍येला सहगुणक म्‍हणतात.

उदा. 1) 4x + 5 यात 4 सहगुणक आहे.

   2) 14x + 9 यात 14 सहगुणक आहे.

बैजीक राशी:- अक्षरी संख्‍या व अंकगणिती संख्‍या यांच्‍या क्रियांनी तयार होणार्‍या मांडणीस बैजीक राशी म्‍हणतात.

उदा. x² – 2x, \[m^{2}+\frac{3}{4}m\]

, 5x, 2a²-3ab+2b²

पद:- ज्या राशीत गुणाकार ही एकच क्रिया असते त्‍या राशीला पद म्‍हणतात.

उदा. 6xy, 12x²y³z, 125xyz²

कोटी:- दिलेल्‍या बहुपदीतील चलाचा सर्वात मोठा घातांक म्‍हणजे कोटी होय.

उदा. 3x² + 4x + 5 यात 2 कोटी आहे.

   4x³ + 4x² - 3x + 8 यात 3 कोटी आहे.

   * शुन्‍यतर स्‍थीर एकपदीची कोटी 0 असते.

   * शुन्‍याला कोटी नसते.

पदावली:- ज्यात बैजीक राशींची मांडणी असते, त्‍यास पदावली म्‍हणतात. पदे + किंवा – च्‍या चिन्‍हाने वेगळी होतात.

पदावलीचे प्रकार

   1) एकपदी:- ज्‍यात एकच पद असते त्‍यास एकपदी म्‍हणतात.

   उदा. 3x²y, 15x³y³z, 8ab²

   2) द्विपदी:- ज्‍यात दोन पदे असतात त्यास       द्विपदी असे म्‍हणतात.

उदा. 2a²+4, 3x²-6, x²+5

   3) त्रिपदी:- ज्‍यात तीन पदे असतात त्‍यांना त्रिपदी असे म्‍हणतात.

   उदा. x²+5x+6, m²-8m+12, y²-10m-24

   4) बहुपदी:- ज्‍यात तिनपेक्षा जास्‍त पदे असतात    त्‍यांना बहुपदी म्‍हणतात.

   उदा. ax+bx+ay+by, xm-xn+my+ny

अर्थहीन राशी:- चलाच्‍या ज्‍या किंमतीसाठीती बैजीक राशी शुन्‍य होते तेव्‍हा त्‍या बैजिक राशीला अर्थहीन बैजीक राशी म्‍हणतात.

पदावलीचे अवयव पाडणे

A) एकपदीचे अवयव:-

   \[1) 25x^{3}y^{3}=5\times 5\times x\times x\times x\times y\times y\times y \\ 2) 12x^{3}z=2\times 2\times 3\times x\times x\times x\times z \\ 3) 3a^{2}b^{3}c=3\times a\times a\times b\times b\times b\times c\]

B) द्विपदीचे अवयव:-

      1) 3m²+6m = 3m(n+2)

      2) 4x²+12x = 4x(x+3)

      3) 4a²-6a = 2a(2a-3)

      4) 5m²+18m = m(5m+18)

C) त्रिपदीचे अवयव:-

        









1) x²+8x+15

\[15< ^{5}_{3}\]

15 चे असे अवयव पाडा की ज्‍यांची बेरीज +8 येईल.

टिप:- शेवटी + चिन्‍ह असल्‍यास दोन्‍ही अवयवांना + + किंवा - - चिन्‍ह द्यावे व मधातील संख्‍येला चे चिन्‍ह असेल ते चिन्‍ह दोन्‍ही अवयवांना द्यावे. 15 चे अवयव +5 व +3 पाडले.

OR

आता    x²+8x+15

            x²+5x+3x+15

            x(x+5)+3(x+5)

            (x+5)(x+3)

OR

\[15< ^{+5\left ( x+5 \right )}_{+3\left ( x+5 \right )}\]

2) x²-3x-40 चे अवयव पाडा. 

-40 चे असे अवयव पाडा की ज्‍यांची बेरीज -3 येईल.

टिप:-  शेवटी – चिन्‍ह असल्‍यास एका अवयवाला = व एका अवयवाला + चिन्‍ह द्यावे. मोठ्या अवयवाला मधल्‍या संख्‍येचे चिन्‍ह द्यावे. दुसर्‍या अवयवलाला उर्वरीत चिन्‍ह द्यावे.

   - 40 चे अवयव -8 व 5 पाडले

आता   x²+8x+15

            x²-8x+5x-40

            x(x+8)+ (x+8)

            (x+8)(x+5)

OR\[-40< ^{-8\left ( x-8 \right )}_{-5\left ( x+5 \right )}\]

    3) 2x²+3x-5 चे अवयव पाडा.

   यात 2x-5 = -10 करावे व -10 चे असे अवयव पाडा की ज्‍यांची बेरीज +3 येईल.

आता   2x²+3x-5

            2x²+5x-2x-5

            x(2x+5)-5(2x+5)

            (2x+5)(x-1) अवयव

OR\[-10< ^{5}_{-2}\]

4) 6x²+11x-10 चे अवयव पाडा.

 यात 6x-10 = -60 करावे व -60 चे असे अवयव पाडा की ज्‍यांची बेरीज +11 येईल.

आता   6x²+11x-10

           6x²+15x-4x-10

            3x(2x+5)-2(2x+5)

            (2x+5)(3x-2) अवयव 

OR \[-60< ^{+15}_{-4}\]

5) a²-5ab-36b² चे अवयव पाडा.

   36 चे असे अवयव पाडाकी ज्‍यांची बेरीज -5 येईल.

आता   a²-5ab-36b²

            a²-9ab+4ab-36b²

            a(a-9b)+4b(a-9b)

            (a-9b)(a+4b) अवयव

OR

 \[-36< ^{-9\left ( a-9b \right )}_{+4\left ( a+4b \right )}\]
 6) x²+10xy+24y² चे अवयव पाडा

   +24 चे असे अवयव पाडा की ज्‍यांची बेरीज +10 येईल.

आता   x²+10xy+24y²

            x²+6xy+4xy+24y²

            x(x+6y)+4y(x+6y)

            (x+6y)(x+4y) अवयव

OR

\[-24< ^{+6\left ( x+6y \right )}_{-4\left ( x+4y \right )}\]

7) 3a²-11ab+6b² चे अवयव पाडा.

   यात 3 ´ 6 = 18 करावे व +18 चे असे अवयव पाडा की ज्‍यांची बेरीज -11 येईल

आता   3a²-11ab+6b²

            3a²-9ab-2ab+6b²

            3a(a-3b)-2b(a-3b)

            (a-3b)(3a-2b) अवयव

OR

\[+1< ^{-9}_{-2}\]

8)   2m²+19mn+30n²

   यात 2 ´ 30 = 60 करावे व +60 चे असे अवयव पाडा की ज्‍यांची बेरीज +19 येईल.

आता   2m²+19mn+30n²

            2m²+15mn+4mn+30n²

            m(2m+15n)+2n(2m+15n)

            (2m+15n)(m+2n) अवयव

OR

\[+60< ^{+15}_{+4}\]

D) बहुपदीचे अवयव

1) ac-ad+bc-bd चे अवयव पाडा.

उत्‍तर:- a(c-d)+b(c-d)

       (a+b)(c-d)

2)   6x²+8xy+9xy+12y² चे अवयव पाडा.

उत्‍तर:- 2x(3x+4y)+3y(3x+4y)

            (2x+3y)(3x+4y)