घातांक

 घातांक:-

    घातांक म्‍हणजे एखाद्या संख्‍येचा स्‍वत:शीच वारंवार करण्‍यात येणारा गुणाकार थोडक्‍यात मांडण्‍याची क्रीया म्‍हणजे घातांक होय. घातांक हा नेहमी डोक्‍यावर दर्शविला जातो.

\[a^{n}\: \: \: 5^{4}\]

घातांक-n=4  व पाया - a=5

5 x 5 x 5 x 5 = 625

घातांकाचे नियम

1) aⁿ x a^m = a^n+m

पाया समान असेल व गुणाकाराची क्रिया असेल तर घातांकाची बेरीज होते.

उदा. 1) 3⁴ x 3⁶ x 3⁹ = 3⁴⁺⁶⁺⁹ = 3¹⁹

     2) 9⁶ x 9⁵ x 9^-3 = 9^6+5-3 = 9⁸

     3) 12⁴ x 12⁸ x 12^--5 = 12^4+8-5 = 12⁷

2) \[ \: \: a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \: \: \: OR\: \: a^{n}=\frac{1}{a^{-n}}\]

कोणत्‍याही संख्‍येचा घातांक ॠण असेलतर त्‍याला भागाकारात धन लिहीतात व धन असेल तर ॠण लिहितात.

उदा. \[1)3^{-4}=\frac{1}{3^{4}}\]\[2)6^{-5}=\frac{1}{6^{5}}\]

\[3)2^{6}=\frac{1}{2^{-6}}\]\[4)8^{2}=\frac{1}{8^{-2}}\]

3)  = a^mn

          घातांकाचा घातांक असेल तर घातांका-घातांकाचा गुणाकार करावा.

\[1)\: \: \left ( 2^{4} \right )^{5}=\: 2^{4\times5}\: =2^{20}\]

\[2)\: \: \left [ \left ( 8^{3} \right )^{5} \right ]^{4}\: \: =8^{3\times5\times4}=\: 8^{60}\]

\[3)\: \: \left ( 9^{-2} \right )^{-3}\: =9^{-2\times -3} =9^{6}\]

\[4)\: \: \left [ \left ( 7^{5} \right )^{3} \right ]^{-2}=\: 7^{5\times3\times-2}=\: 7^{30}=\frac{1}{7^{30}}\]

4) a⁰ = 1

      कोणताही संख्‍येचा घातांक शुन्‍य असल्‍यास त्‍यांची किंमत 1 होते.

उदा.   1) 3⁰ = 1     

2) 943⁰ = 1  

3) -216⁰ = 1    

  

4) 3.5⁰ = 1  

5) \[\left ( \frac{1}{3} \right )^{0}=1\]     

6) (1.2 x  3)⁰ = 1

5) \[a^{n}\div a^{m}= a^{n-m}\]

पाया समान असेल व क्रिया भागाकाराची असेल तर घातांकाची वजाबाकी होते.

उदा.  \[1)\:3^{8}\div 3^{6}=3^{8-6}=3^{2}\]

\[2)\: \: 12^{5}\div 12^{8}=\: \: 12^{5-8}=12^{-3}\: \: =\frac{1}{12^{3}}\]

\[3)\: \: \frac{15^{8}}{15^{2}}=\: \: 15^{8-2}=\: \: 15^{6}\]

\[4)\: \: 8^{12}\div 8^{15}=\: \: 8^{12-15}=\: \: 8^{-3}=\frac{1}{8^{-3}}\]

6) a¹ = a

      कोणत्‍याही संख्‍येचा घातांक 1 असेल तर तीच किंमत असते.

उदा. 1) 3¹ = 3            2) 212¹ = 212

    3) 0.6¹ = 0.6         4) 2016¹ = 2016

7) aⁿ x bⁿ = (ab)ⁿ

          जर पाया वेगळा असेल व घातांक समान असेल तर पायाचा गुणाकार करून घातांक तसाच ठेवावा.

उदा.   1) 3⁵ x 4⁵ = 12⁵

   2) 5³ x 3³ x 2³ = (5 x 3 x 2)³ = 30³

   3) 9⁴ x 5⁴ x  4⁴ = (9 x 5 x 4)⁴ = 180⁴

   4) 12⁶ x 3⁶ = (12 x 3)⁶ = 36⁶

8) \[\: \:\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\: \: \frac{a^{n}}{b^{n}}\]

      जर कंसाचा घातांक असेल तर कंसातील प्रत्‍येक संख्‍येचा घातांक होतो.

उदा. \[1)\: \:\left ( \frac{3}{5} \right )^{4}=\: \: \frac{3^{4}}{5^{4}}\: \:\: \: \:2) \:\left ( \frac{5}{8} \right )^{9}=\: \frac{5^{9}}{8^{9}}\]

9) \[\: \:\left ( \frac{a^{n}}{b^{m}} \right )^{k}\: \: =\: \: \frac{a^{nk}}{b^{mk}}\]

     जर कंसाचा घातांक असेल तर कंसातील प्रत्‍येक संख्‍येचा घातांक होतो व घातांकाचा गुणाकार होतो.

उदा.  \[1)\: \:\left ( \frac{3^{4}}{5^{2}} \right )^{6}\: =\: \frac{3^{24}}{5^{12}}\]\[2)\:\left ( \frac{4}{3^{2}} \right )^{5}\: \: =\: \frac{4^{5}}{3^{10}}\]

10) a^m = aⁿ

   दोन संख्‍या बरोबरीत असतील व पाया समान असेल तर घातांकही समान होतो.

   1) 5⁹ = 5^m      m = 9

   2) 12^x+4 = 12¹⁵ तर x = ?

   x + 4 = 15     x = 15 – 4 = 11

11) घातांक चे नियम

\[1)\:\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{n}\: \: =\left ( a^{\frac{1}{n}} \right )^{n}\: \:= a\]

\[2)\:\left ( \sqrt[n]{ab} \right )^{}\: \: =\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}\]

\[3)\:\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\: \: =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]

\[4)\:\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{m}\: \: =\: \sqrt[n]{a^{m}}\]

\[5)\:\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\]